International Journal of Industrial Engineering & Production Management (2013)

-144144-24523

August 2013, Volume 24, Number 2
pp. 215-223

http://IJIEPM.iust.ac.ir/

Calculate the Uncertainty Interval Based on Entropy and Dempster Shafer Theory of Evidence

E. Pasha*

Khalaj

647954-12576

Eainollah Pasha Professor, Kharazmi University. Faculty of Mathematical and Computer Science
Hamidreza Mostafaei Assistant Professor, The Islamic Azad University, North Tehran Branch, hrmostafaei@yahoo.com
Mehran Khalaj Phd Condidate on Engineering at Azad University, mehran5_k@yahoo.com Fereshteh Khalaj,, student the MA statistics, fereshteh_khalaj61@yahoo.com

Keywords 1ABSTRACT

Epistemic uncertainty٬ Aleatory uncertainty٬ Dempster Shafer theory and entropy are two methods for representation and quantitative measurement of the uncertainty in
2251583-1876

Dempster-Shafer theory٬ information systems. De
Shannon entropy
1268732040127

Downloaded from ijiepm.iust.ac.ir at 16:35 IRST on Saturday November 4th 2017

Downloaded from ijiepm.iust.ac.ir at 16:35 IRST on Saturday November 4th 2017

extended later by Shafer. Entropy is a measure of uncertainty as a basic concept in the information theory. Entropy can be applied as an uncertainty measurement of the systems in specific situation. In this paper, a new method has been proposed for measurement of the uncertainty upper and lower bound with the combination of mathematical models of entropy and Dempster Shafer theory. According to this analysis maximum and minimum of the uncertainty are calculated.

© 2013 IUST Publication, IJIEPM. Vol. 24, No. 2, All Rights Reserved

*Corresponding author. Eainollah Pasha
Email: Pasha@saba.tmu.ac.ir
-116839-1474002

محاسبه فاصله عدم قطعيت بر پايه آنتروپي شانون و تئوري دمپستر-شافر از شواهد

عين اله پاشا*، حميدرضا مصطفايي، مهران خلج و فرشته خلج
کلمات کليدي چکيده:
-137151513

عدم قطعيت epistemic1، تئوري دمپستر شافر و آنتروپي دو روش مهم در اندازه گيري و به كميت درآوردن عدم قطعيت سيستم عدم قطعيت aleatory2، هاي اطلاعاتي است. تئوري دمپستر شافر با استفاده از مفهوم احتمالات بالايي و پاييني توسط دمپستر تئوري دمپستر شافر ، پايه گذاري شد و سپس شافر آن را به عنوان يك نظريه ارائه داد. آنتروپي نيز مفهومي اساسي در تئوري آنتروپي شانون اطلاعات به كار گرفته مي شود. در اين مقاله روشي جديد براي اندازه گيري كران هاي بالايي و پاييني عدم قطعيت با تركيب دو معيار آنتروپي و تئوري دمپستر شافر ارائه شده است. بر اساس اين روش ،ماكزيمم و مينيمم عدم قطعيت محاسبه شده است.
-1371561182

1. مقدمه1
عدم قطعيت مفهومي است كه تصميم گيرندده همدواره در فراينددتصميم گيري با آن روبرو اسدت. بده ع دت وجدود عددم قطعيدت ، جزئياتي غير قطعي در مسأله بيان مي شود كه به واسطه آن نمي-توان پارامترهاي سيستم را بده درسدتي تعيدين كدرد. مدد هدايرياضي متعددي براي بررسي عدم قطعيت سيستم هدا و فرآينددهاارائه شده است و در آنها تلاش شده تا عدم قطعيت حتي الامکدانكاهش پيدا كند واز طريق آن اطلاعات كيفي و كمي در مورد يك موضوع خاص كنتر شده و خروجي هداي مدد قابدر ارزيدابي وكنتر شوند .
تاريخ وصول: 12/5/93 تاريخ تصويب: 9/11/39
*نويسنده مسئول مقاله: دکتر عين اله پاشا، استاد، دانشگاه تربيت مع م Pasha@saba.tmu.ac.ir
دکتر حميدرضا مصطفايي، استاديار دانشگاه تربيت مع م،
hrmostafaei@yahoo.com
مهران خلج ،دانشجوي دكتري دانشگاه ع وم تحقيقات
mehran5_k@yahoo.com fereshteh_khalaj61@yahoo.com ،فرشته خلج، دانشجوي فوق ليسانس شناختيك 1
2 كتره اي
تئوري عدم قطعيت به عنوان گرايشدي در رياضديات، بده مطالعدهعدم قطعيت در سيستم ها مي پردازد [01].
شکرهاي مخت في ازعدم قطعيدت وجدود دارد و خي دي ضدرورياست كه قبر از هر نوع تصميمي نوع آن بر اساس مقدار و صدحتاطلاعات در دسترس شناخته وگروه بندي شود، به طور ك ي انواع مخت ف عدم قطعيت برخاسته از دو منبع متفاوت است كه عموما تحت عناوين عدم قطعيت epistemic و aleatory طبقده بندديمي شوند [0].
1268732040127

Downloaded from ijiepm.iust.ac.ir at 16:35 IRST on Saturday November 4th 2017

Downloaded from ijiepm.iust.ac.ir at 16:35 IRST on Saturday November 4th 2017

عدم قطعيت aleatory يا عدم قطعيت مربوط به تندوع طبيعدي2، اشاره به تصادفي بودن مشاهدات در طبيعت دارد كده مربدوط بدهذات طبيعت مي باشد و با عنداوين عددم قطعيدت بيروندي، عددمقطعيت ذاتي، عدم قطعيت هدد،، عددم قطعيدت تصدادفي، عددمقطعيت اتفاقي، عددم ق طعيدت غيدر قابدر تق يدر، عددم قطعيدتبينادي، عدم قطعيت دنياي واقعي، شناخته مي شود. عدم قطعيت epistemic يا عدم قطعيت دانش3، وضعيت داندش يدك سيسدتمفيزيکي و توانايي در اندازه گيري و به مد درآوردن عدم قطعيت را بررسي مي كند. اين نوع عددم قطعيدت بدا عندوان هداي عددمقطعي ت ت ابعي، ع دم قطعي ت داخ ي، ع دم قطعي ت ذهن ي، 2
Natural variability
3 Knowledge uncertainty

1268732040127

Downloaded from ijiepm.iust.ac.ir at 16:35 IRST on Saturday November 4th 2017

Downloaded from ijiepm.iust.ac.ir at 16:35 IRST on Saturday November 4th 2017

ناتماميت، شناخته مي شدود [4]. غالبدا از تئدوري احتمدا بدراينمايش عدم قطعيت aleatory و epistemic اسدتفاده مدي شدود[5-7] و براي نمايش عدم قطعيت epistemic از تئوري احتما ، تئوري دمپستر شافر، تجزيه و تح يدر بدازه هدا، تئدوري امکدان ومجموعه هاي فازي استفاده مي شود[04].
مزيت مهم تئوري دمپستر شافر ايدن اسدت كده بدا اسدتفاده از آن ميتوان عدم قطعيت epistemic را بررسي و كمدي كدرد. در ايدنتئوري قوانيني براي تركيب اطلاعات از منابع مخت دف ارائده شددهاست كه معرو، ترين آنها قانون تركيب دمپستر مي باشد. با توجه به اينکه اطلاعات مورد اسدتفاده در سيسدتم هدا بدر پايده تح يدر آماري است، مي توان از مد عدم قطعيت احتمالي براي مديريت اطلاعات و نمايش رياضي عدم قطعيت سيستم ها استفاده كرد. در اين خصوص تئوري دمپستر شافر بده عندوان ابدزاري بدراي آنداليزعدم قطعيت در تئوري احتمالات نادقيق، استفاده مي شدود [04].
همچنين تئوري مد هاي آماري بازه اي [8]، تئدوري احتمدالاتب ازه اي [03] از جم ه ر ارروی ه ايي اس ت ك ه ك ران ه اياحتمالات بالايي و پاييني را در احتمالات نادقيق مهيا مدي كنندد.
در بحث بررسي عدم قطعيت آنتروپي نيز كاربرد دارد، آنتروپي يك اندازه كمي از درجه عدم قطعيت ارائه مي دهد. آنتروپي فدازي بداالهام گرفتن از آنتروپي شانون براي تعيين عدم قطعيدت ناشدي ازكمبود اطلاعات و حر مشکلات تصميم گيري پيشنهاد شده است [2]. در اي ن زمين ه آنتروپ ي از س ه دي دگاه آنتروپ ي م اكزيمم ،آنتروپي مينيمم و مقدار كدر آنتروپدي در مدوارد متنداهي و غيدرمتناهي مورد بررسي قرار مي گيرد[9].
اين مقاله در پنج بخش ارائه مي شود. در بخش او مقدمده بيدانشد ،در بخدش دوم تئدوري دمپسدتر شدافر بدا اسدتفاده از م داليكاربردي توضيح داده مي شود. در بخش سوم آنتروپي بده عندوانمعيار بررسي عدم قطعيت در احتمالات كلاسيك توضيح داده مي شود. در بخش رهارم با استفاده از يدك روش ابتکداري دو معيدارآنتروپي و تئوري دمپستر شافر با هم تركيب و روشي جديد جهت بررسي عدم قطعيت پيشنهاد شده است. بخش پدنجم مربدوط بدهنتيجه گيري مي شود.

1. تئوري دمپستر شافر نظريه رياضي شواهد، توسط دمپستر) 0997( معرفي شد [3] و به وسي ه شافر) 0979( بسط داده شده اسدت [00]. ايدن تئدوري بدابحث درباره باورهداي موجدود از يدك وضدعيت و يدا سيسدتمي ازوضعيت ها، حائز اهميدت مدي باشدد. باورهدا در مدورد پيشدامدهايکسان نيستند اما به كمك اين نظريه مي توان شدواهد موجدود ازوضعيت ها را در يك روش مشابه بررسي و تركيدب كدرد. تئدوريدمپستر شافر بر اساس باوري است كه از شواهد نتيجه مدي شدود
115
بطوريکه ساختار باور تئوري شداهد بده مدد احتمدا كلاسديكمربوط مي شود[00]. از مفداهيم مقددماتي موجدود در رابطده بداشواهد، مي توان به نکات زير اشاره كرد:

1-1. چارچوب تشخيص
فرض كنيد  يك مجموعه متناهي از عناصر است، يدك عنصدرمي تواند يك فرضيه، يك هد،، يا موردي از وضعيت يك سيستم باشد . را رارروی تشخيص مي ناميم. مجموعه تدوان ، بدهوسي ه (( معين مدي شدود. بده عندوان م دا فدرض كنيدد
،{a,b,c}

(),{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} )(

 مجموعه تهي كه بر وضعيت سيستم بي نقص دلالت ميكند .
{A{a,b زير مجموعه اي از  است، يعنديA . A نقص سيستم در a يا b را بيان مي كند و  نقدص سيسدتمدر b ،a يا c را بيان مي كند.

1-1. تابع جرم، عناصر کانوني و عناصر هسته اصلي تابع جرم را با m مشخص مي كنند كه بده صدورت زيدر تعريدفميشود؛

m: ()0,1 )2(
m()0 )3(
m(A)1 )4(
A()

119
طوريکه 0m(A)، همچنين c  A يك عنصر هسدته اي
0m(A)از تابع جرم در  ناميده مي شود.
1268732040127

Downloaded from ijiepm.iust.ac.ir at 16:35 IRST on Saturday November 4th 2017

Downloaded from ijiepm.iust.ac.ir at 16:35 IRST on Saturday November 4th 2017

9-1. توابع باور1 و موجه بودن 1 تابع باور به صورت زير تعريف مي شود:
Bel:()0,1 )5(

Bel (A)m(B) )9(
BA

تابع موجه بودن به صورت زير تعريف مي شود:

Pl(A):()0,1 )7(

Pl(A)1Bel (A) m(B) )8(
BA

تابع (Bel (A مقدار كر احتمالي كه بايد در ميان عناصري از A باشد را اندازه گيري مي كند و به معناي حتميت و معني داري از باور A و به منزله حد پاييني روي احتما A است.
تابع (pl (A حداك ر مقدار احتمدالي را كده مدي تواندد در ميدانعناصر A توزيع شود را اندازه گيري مي كند .(pl (A درجه باور ك ي مربوط به A را توصيف مي كند و به منزله تابع حدد بدالاييروي احتما A است.

Bel (A),Pl(A) 9بازه باور .1-2
اين فاص ه، فاص ه باور عدم قطعيت را منعکس مدي كندد و انددازهفاص ه (Pl(A)Bel (A نادانسته هاي مربوط بدهA را توصديفمي كند. همانطور كه در جدو) 0( به شدرح ذيدر ملاحظده مديشود، بازه هاي بداور متفداوت معنداي متفداوتي را در بدر خواهنددداشت. تابع موجه بودن به واسطه تابعي به نام شك4، به تابع بداورمرتبط شده و بر طبق رابطه زير به صدورت تعريفدي از بداور بيدانميشود:

Pl(A) 1Bel (A)
 )9(
Pl(A) 1Doubt (A)

beleif
plausibility
Belief interval
Doubt

belief

plausibility

0

1

توسط

پشتيباني
،
شواهد
نا

يا

شناخته
ها

موجه

فاصله
(
ب
ودن

plausibility interval
)

فاصله

عدم

قطعيت

بر

اساس

شواهد
رد

(
شواهد
عدم

باور

از

)

اساس

بر

حمايت

از

شواهد

باور
(
فاصله


belief interval
)



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید