International Journal of Industrial Engineering & Production Management (2014)

-144144-24523

January 2014, Volume 24, Number 4
pp. 449-459

http://IJIEPM.iust.ac.ir/

The Effect of Estimation Error on the Performance of non-Parametric Control Chart Based on Sign Statistic

M. Nojavan*, N. Ghafari & M. Karbasian

Majid Nojavan, Assistant Professor, Industrial Engineering Faculty, Islamic Azad University, South Tehran Branch, mnojavan@azad.ac.ir
Nafiseh Ghaffari, Ms., Engineering Faculty, Islamic Azad University, Najaf-Abad Branch, Ngh_575@yahoo.com Mahdi Karbasian, Assistant Professor, Industrial Engineering Faculty, Maleke-Ashtar University,mkarbasi@mut-es.ac.ir
Keywords 1ABSTRACT

Non-Parametric Control Chart, In this paper, the effect of estimation error on the performance of Sign Control Chart, Sign non-parametric control chart is considered. A simulation Estimation Error, program has been prepared that calculate ARLs and cumulative
Sample Size distribution functions in sign chart for Normal, Uniform, Laplace and Cauchy processes. The simulations results show effects of estimation error in heavy-tailed distributions is greater than lighttailed distributions. Also, the effect of sample size on the estimation error is considered. The results specify the heavy-tailed distributions need to more samples than light-tailed distributions.In this paper, the effect of estimation error on the performance of Sign nonparametric control chart is considered. A simulation program has been prepared that calculate ARLs and cumulative distribution functions in sign chart for Normal, Uniform, Laplace and Cauchy processes. The simulations results show effects of estimation error in heavy-tailed distributions is greater than light-tailed distributions. Also, the effect of sample size on the estimation error is considered. The results specify the heavy-tailed distributions need to more samples than light-tailed distributions.

© 2014 IUST Publication, IJIEPM. Vol. 24, No. 4, All Rights Reserved

*
Corresponding author. Majid Nojavan
Email: mnojavan@azad.ac.ir

بررسی اثر خطای تخمین بر عملکرد نمودار کنترل ناپارامتری علامت

مجید نوجوان*، نفیسه غفاری و مهدی کرباسیان

کلمات کلیدی چکیده:
-36215601

نمودارهای ناپارامتری، برای کنترل پارامترهای فرایند در حالتی که توزیع داده ها نامعلوم یا غیر نرمال هستند از نمودارهای نمودار علامت، ناپارامتری استفاده میشود. نمودار علامت یکی از نمودارهای ناپارامتری است که برای کنترل مرکزیت خطای تخمین ، فرایند بکار رفته و برای این کار از مقایسه مشاهدات نمونه با مقدار هدف )میانه یا میانگین( استفاده اندازه نمونه. می شود. در این مقاله تاثیر خطای تخمین پارامتر بر عملکرد نمودار علامت یکطرفه مورد بررسی قرار گرفته است. برای این منظور یک برنامه شبیه سازی تهیه شده و با استفاده از آن تابع توزیع تجمعی و میانگین طول دنباله مربوط به نمودار علامت با پارامتر برآورد شده نسبت به زمانی که پارامتر معلوم است برای چهار توزیع مختلف بررسی شده است. همچنین تعداد نمونه های مورد نیاز برای رسیدن به سطح مطلوبی از احتمال هشدار اشتباه برای توزیع های مختلف مشخص شده است. نتایج نشان می دهد خطای تخمین با توجه به این که باعث کاهش یا افزایش پارامتر مکان نسبت به مقدار واقعی شود میتواند بر روی عملکرد نمودار علامت اثر مثبت یا منفی داشته باشد و برای کاهش اثرات آن باید یک اندازه نمونه مناسب تهیه نمود.
-362159849

1. مقدمه1
نمودارهای ناپارامتری برای کنترل فرایندهایی که دارای توزیع نرمال نیستند استفاده می شوند .پارنت ]1[ و رینولدز ]2[ نمودارهای کنترلی را بر اساس رتبه های ترتیبی علامت مشاهدات ایجاد کرده اند. مک گیلکریست و وودیر ]3[ روش توزیع آزاد جمع تجمعی )CUSUM( را برای بکارگیری در نظارت بر میزان بارش ،پیشنهاد کردند. باکیر ]4[ و باکیر و رینولدز ]5[ نمودار کنترل ناپارامتری جمع تجمعی )CUSUM( را با استفاده از آماره رتبه علامت ویلکاکسون شکل دادند. پارک ]6[ استفاده از نمودار کنترل ناپارامتری با توزیع نامتقارن را پیشنهاد و نمودار شوهارتی
تاريخ وصول: 11/9/91 تاريخ تصويب: 1/11/91
*نويسنده مسئول مقاله: دکتر مجید نوجوان، استادیار دانشکده مهندسی
صنایع، دانشگاه آزاد اسلامی، واحد تهران جنوب mnojavan@azad.ac.ir نفیسه غفاری، دانشجوی کارشناسی ارشد مهندسی صنایع، دانشگاه آزاد اسلامی، واحد نجف آباد ،Ngh_575@yahoo.com دکتر مهدی کرباسیان ،استادیار دانشکده مهندسی صنایع، دانشگاه مالک اشتر ،
mkarbasi@mut-es.ac.ir
علامت و نمودار رتبه علامت دار را در مطالعات خود بررسی نمود.
پارک و رینولدز ]7[ نمودارهای ناپارامتری شوهارت و جمع تجمعی را بر اساس آماره جایابی خطی ایجاد کردند. امین و سیرسی ]8[ رفتار نمودار میانگین متحرک موزون نمایی )EWMA( را با استفاده از آماره رتبه علامت دار ویلکاکسون مورد مطالعه قرار دادند .هکل و لدالتر ]9[ ، ]11[ نیز نمودار کنترل ناپارامتری مبتنی بر رتبه ها و یک نمودار ناپارامتری جدید پیشنهاد کردند. امین و همکاران] 11[ و آرنولد] 12[ نمودارکنترل ناپارامتری شوهارت و CUSUM را برای داده های گروه بندی شده مبتنی بر آماره آزمون علامت تهیه کردند .چاکرابورتی و همکاران] 13[ نیز نمودار ناپارامتری علامت مبتنی بر آماره من-ویتنی را معرفی کردند.
در بسیاری از موارد پارامتر فرایند مجهول بوده و باید آن را در فاز I طراحی نمودار و با استفاده از نمونه های گرفته شده از فرایند تحت کنترل تخمین زد. در این حالت ممکن است مقدار واقعی پارامتر و تخمین آن با هم اختلاف داشته باشند .وودال و مونتگومری] 14[ اثر خطای تخمین در نمودارهای کنترلی را بدین صورت توصیف کرده اند: “تاثیر تخمین بر عملکرد نمودار
151
کنترلی در برخی مقالات مورد بررسی قرار گرفته است اما تنهابرای تعداد کمی از نمودارها این تاثیر بررسی شده است”. برخی از محققان از جمله گوش و همکاران ]15[ ، نگ و کیس ]16[ ، کیوزنبری ]17[ ، دل کاستیلو ]18[ ، ]19[ و بروگس و همکاران ]21[ ، ]21[ تاثیر تخمین پارامتر را بر ARL نمودار کنترل شوهارت بررسی کرده اند. باگشو و جانسون ]22[ تاثیر تخمین واریانس را بر میانگین طول دنباله) ARL( نمودار جمع تجمعی )CUSUM( مورد بررسی قرار داده اند. ینگ ]23[ تاثیر تخمین میانگین را بر عملکرد نمودار CUSUM مطالعه کرده است .
لو و رینولد ]24[ اثر تخمین پارامتر در نمودار EWMA را در حالتی که فرآیند خود همبسته است بررسی کرده اند .محققان زیادی ازجمله گوش و همکاران] 15[، کیوزنبری] 17[ و چن ]25[ نشان داده اند که با استفاده از نمونه مرجع بزرگ معمولاً تخمین میانگین و واریانس به اندازه کافی خوب خواهد بود اما این روش عملکرد نمودارها را در هر دو حالت تحت کنترل و خارج از کنترل تحت تاثیر قرار می دهد.
آنها مقادیر میانگین و انحراف معیار توزیع طول دنباله در شرایطی که مقدار میانگین و خطای استاندارد برآورد شده اند را با استفاده از شبیه سازی و محاسبات عددی بررسی کرده و برای افزایش دقت پیشنهاد کردند که برای تخمین پارامتر حداقل 311 مشاهده مورد نیاز است. لو و رینولدز] 24[ ، ]26[ از نمودارهای کنترلی برای نظارت بر میانگین و واریانس فرآیندهای خود همبسته استفاده کرده و نشان دادند هنگامی که فرآیند با استفاده از یک مدل سری زمانی مدلسازی می شود برای تخمین پارامترها به مجموعه ی بزرگتری از داده های اولیه نیاز است. آلبرت و کالنبرگ ]27[ اثر تخمین پارامترها بر نمودارهای شوهارت را بررسی و با استفاده از شبیه سازی نشان داده اند هنگامی که از برآورد پارامترها جهت تعیین دقیق حدود نمودارهای کنترلی استفاده می شود به حجم خیلی بزرگی از نمونه ها نیاز است. آنها نمودارهای کنترلی را اصلاح و نشان دادند که در این نمودارها اندازه مشاهدات مورد نیاز به شدت کاهش می یابد.
جونز و همکاران ]28[ توزیع طول دنباله نمودار EWMA را در حالتیکه پارامترها تخمین زده شده اند بررسی و در مورد تاثیر این تخمین بر عملکرد نمودار تحقیقاتی انجام داده اند. جونز ]29[ طراحی نمودار کنترل EWMA در فازII را در حالتی که پارامترها نامعلوم اند بررسی کرده و روشی را پیشنهاد کرده اند که از هشدارهای زود هنگام و کاهش قدرت نمودار برای تشخیص تغییر در فرایند جلوگیری شده است. چمپ و همکاران ]31[ نشان داده اند که توزیع طول دنباله در حالت تحت کنترل به پارامترهای نامعلوم فرآیند وابسته نیست. ندومان و پیگناتیلو ]31[ در مورد تخمین پارامترها در نمودار کنترل

چند متغیره با حدود کنترل بر اساس توزیع

تحقیقاتی انجام داده اند. اندازه نمونه پیشنهادیتوسط آن ها بسیار بزرگتر از اندازه نمونه پیشنهادی توسط لوری ومونتگومری ]32[ بوده و این اندازه نمونه با کاهش تعدادمشخصه های کیفی که پایش می شوند کاهش می یابد .
ژنگ و چن ]33[ وابستگی ARL خارج از کنترل نمودار EWMA در شیفت های مختلف را بررسی و نشان داده اند در شرایطی که واریانس تخمین زده می شود ARL نااریب بوده و هنگامی که میانگین تخمین زده می شود ARL اریب می باشد.
آلبرت و کالنبرگ ]34[ ضمن بررسی شرایط استفاده از نمودارهای ناپارامتری ،اثر تخمین پارامتر را بر عملکرد نمودار ناپارامتری تجربی بررسی کرده و برای بهبود عملکرد این نمودار در حالت تحت کنترل و خارج از کنترل پیشنهاداتی داده اند.
در این مقاله اثر خطای تخمین بر نمودار ناپارامتری علامت بررسی و عملکرد این نمودار با در نظر گرفتن خطای تخمین بررسی شده است. ساختار مقاله بدین صورت است که در بخش دوم نمودار علامت و نحوه استفاده از آن و همچنین روش ارزیابی عملکرد این نمودار تشریح شده است. در بخش سوم اثر خطای تخمین در عملکرد نمودار علامت بررسی شده است. در بخش چهارم اثر تعداد نمونه در عملکرد نموذار بررسی و تعداد نمونه مورد نیاز جهت کاهش اثر خطای تخمین مشخص شده است. در نهایت نتیجه گیری در بخش آخر بیان شده است.

1. نمودار کنترلی علامت
نمودار علامت مطرح شده در این مقاله برای نظارت بر میانگین )یا میانه( فرآیند استفاده شده و در آن تمام مشاهدات یک نمونه با مقدار هدف مقایسه می شوند. اگرمشاهده بیش از مقدار هدف باشد، یک علامت (+) و در غیر این صورت یک علامت) -( برای مشاهده در نظر گرفته می شود .سپس تعداد مشاهدات بالا و پایین هدف )تعداد علامتهای + و – ( برای هر نمونه مشخص می شود. فرضیات مورد نیاز برای استفاده از نمودار علامت ،استقلال مشاهدات و پیوسته بودن توزیع احتمال بوده و برای استفاده از آن نیازی به متقارن بودن توزیع نیست. یکی از آماره های مورد استفاده در نمودار علامت به صورت زیر تعریف می شود:

34493-67470

)1(

که در آن ،

مقدار هدف پارامتر مکان )میانه، میانگین یا صدکی از توزیع فرآیند( است که مورد پایش و نظارت قرار می گیرد،

مشاهده j ام) j =1,2,…,n( در نمونه i ام و

مجموع علامت
های مثبت و منفی در نمونه i ام را نشان می دهند. در رابطه فوقتابع علامت) Sign( به صورت زیر تعریف می شود:

69469-59215

)2(

7835934002

اگر فرایند تحت کنترل باشد و میانه تغییر نکند، مقدار بوده و مقدار مورد انتظار نیز برابر صفر می باشد .از آنجا که توزیع مشاهدات پیوسته فرض می شود، داریم و به صورت نظری هرگز رخ نمیدهد. البته در عمل ممکن است مشاهدات گرد شده و صفرهایی مشاهده شوند اما در هر حال تا زمانی که تعداد صفرها بیش از حد نباشند محاسبه

مطابق تعریف بالا و استفاده از حدود محاسبه شده بی اشکال است.
466979861154

استفاده از آماره

این مزیت را به همراه دارد که حدود کنترلی نمودار نسبت به مقدار صفر متقارن است. برای کنترل فرآیند در نمودار علامت و برای رسیدن به یک احتمال هشدار معین P در این نمودار، باید حد )حدود( نمودار با استفاده از جداول احتمالی تعریف شده برای آماره مشخص شوند. برای این کار احتمال هشدار با استفاده از رابطه مشخص
می شود که در آن حد کنترلی بالای نمودار می باشد .
پس از تعیین حد )حدود( نمودار اگر آماره آزمون در یک نمونه از این مقادیر تجاوز کند)

( فرایند خارج از کنترل در نظر گرفته می شود. در نمودار علامت دو طرفه، یک حد کنترل بالا

و یک حد کنترل پایین

برای رسیدن به یک احتمال هشدار نادرست )P( یا میانگین طول دنباله) ARL( معین در حالت تحت کنترل انتخاب میشوند که در آن

میباشد. در نمودار علامت یک طرفه ،فقط یکی از حدود کنترل در نظر گرفته می شوند. میانگین طول دنباله) ARL( نمودار علامت دو طرفه با استفاده از رابطه

محاسبه میشود. مقادیر ARL نمودار علامت برای حالت یک
طرفه در جهت مثبت به صورت

بدست می آید. مقدار ARL نمودار علامت در حالت تحت کنترل برای تمام توزیع ها با میانه یکسان برابر میباشد. بزرگترین مقدار ممکن برای ARL تحت حال کنترل نمودار علامت در طرح های متقارن یک طرفه و دو طرفه در صورتیکه

باشد، به ترتیب برابر با و

می باشد.

9. بررسی خطای تخمین در نمودار علامت
برای استفاده از نمودار علامت باید مقدار پارامتر مکان )میانه( در حالت تحت کنترل مشخص باشد و در صورتیکه این مقدار مجهول باشد باید در فاز I و با استفاده از اطلاعات حاصل از m نمونه n
151
12238622306286

تایی آن را برآورد نمود. در این حالت ممکن است مقدار واقعیپارامتر و مقدار تخمینی متفاوت باشند و چون از مقدار تخمینیبرای ارزیابی فرایند استفاده می شود عملکرد نمودار علامت تغییرخواهد کرد. برای بررسی اثر خطای تخمین بر عملکرد نمودار علامت، توزیع تجمعی طول دنباله این نمودار با پارامترهای تخمین زده شده و در دو حالت تحت کنترل و خارج از کنترل بررسی شده است. برای این کار خطای تخمین در چهار توزیع متقارن مختلف شامل: توزیع یکنواخت )به عنوان توزیع دنباله نازک(، توزیع نرمال )به عنوان توزیع متداول( و توزیعهای لاپلاس و کوشی )به عنوان توزیعهای دنباله پهن( در نظر گرفته شده است. روابط 3 تا 5 به ترتیب تابع چگالی یکنواخت با مرکز

)میانگین=میانه( و پارامتر مقیاس ، تابع چگالی لاپلاس با مرکز

)میانگین=میانه( و پارامتر و تابع چگالی کوشی با مرکز

)میانگین ومیانه ندارد( و پارامتر را نشان می دهند.

)3(

)4(
1348322808358

)5(

برای دستیابی به یک انحراف معیار برابر با مقدار 1 در همه توزیعها و رسیدن به احتمال 15/1 بالاتر از 645/1+

، )مشابه توزیع نرمال با میانگین و انحراف استاندارد 1(، در توزیع یکنواخت مقدار پارامتر ، در توزیع لاپلاس

و در توزیع کوشی 2615/1 در نظر گرفته شده است. در کلیه ی جداول و نمودار های ارائه شده در این مقاله، در نمودار یکطرفه حد کنترل بالا به صورت 01=UCL در نظر گرفته شده است و بنابراین برای حالت تحت کنترل و بدون خطای تخمین میانگین طول دنباله 1124=

و نرخ هشدار نادرست
11197/1=

میباشد .
در نمودار دو طرفه نیز این مقادیر با استفاده از روابط و

قابل محاسبه می باشند. برای انجام محاسبات در نمودار یک برنامه شبیه سازی با استفاده از نرمافزار MATLAB تهیه شده است که عملکرد نمودار را در شرایط مختلف شبیه سازی میکند. هر مقدار محاسبه شده در برنامه شبیه سازی حداقل با 11111 تکرار بدست آمده است. برای بررسی صحت عملکرد برنامه شبیه سازی، مقادیر ARL و احتمالات بدست آمده در حالت بدون خطای تخمین با مقادیر مشخص شده در مراجع و جداول استاندارد مقایسه شده است که این مقایسه
159
نشاندهنده اختلاف ناچیز بین مقادیر بدست آمده در برنامهشبیه سازی و مقادیر ارایه شده در مراجع است و از اینرو می توان از برنامه شبیه سازی برای بررسی عملکرد نمودار علامت استفاده نمود.

9-1. اثر خطای تخمین بر عملکرد نمودار علامت برای بررسی اثر خطای تخمین بر عملکرد نمودار علامت، توزیع طول دنباله این نمودار در حالت تحت کنترل و خارج از کنترل در شرایطی که پارامترها با استفاده از نمونه مرجعی با m=20 و زیر گروه های n=10 تخمین زده شده و خروجی فرآیند دارای
84074412217

توزیعهای نرمال، یکنواخت، لاپلاس و کوشی می باشد بررسیشده است. برای این کار توزیع تجمعی طول دنباله در حالتتخمینی با توزیع طول دنباله با پارامترهای معلوم مقایسه شدهاست. شکلهای 1 تا 4 نمودارهای تابع توزیع تجمعی طول دنباله را در توزیعهای مختلف و در دو وضعیت تحت کنترل) IC( و خارج از کنترل) OC( نشان می دهد. در حالت تخمینی پارامتر مکان)

( بیشتر و کمتر از مقدار واقعی خود فرض شده و چهار صدک از پارامتر مکان شامل دو صدک پایینی و دو صدک بالایی به عنوان برآوردهای پارامتر در نظر گرفته شده است .

(b) (a)
شکل1. نمودار توزيع تجمعی طول دنباله نمودار علامت در توزيع يکنواخت در حالت) a( تحت کنترل و) b( خارج از کنترل
)

(

84074-2532386

(
a
)

(
b
)

شکل
1
.

دنباله

طول

تجمعی
نمودار
توزيع

(
نمودار

توزيع
حالت

در

نرمال

در

علامت
a
(

کنترل
)
تحت

و
b
(
کنترل

از

خارج
)

(

a

)



قیمت: تومان


پاسخ دهید